(本小題滿分14分)如圖,已知四棱錐的底面是矩形,、分別是、的中點,底面,,
(1)求證:平面
(2)求二面角的余弦值
(1)以點為原點,軸,軸,軸的空間直角坐標系,如圖所示.則依題意可知相關(guān)各點的坐標分別是:,,,如下圖所示.……………………………………………………………………………(2分)

所以點的坐標分別為
…………………………………………(3分)
所以,......................... (4分)
因為,所以.......................... (6分)
又因為,所以.............. (7分)
所以平面........................................................... (8分)
(2)設平面的法向量,則,........................ (9分)

所以
............................................................. (10分)
所以
,則
顯然,就是平面的法向量................................... (11分)
所以.................... (12分)
由圖形知,二面角是鈍角二面角........................................ (13分)
所以二面角的余弦值為.......................................... (14分)

解:(1)取的中點,連接,則
,又,所以四點共面.
因為,且.......... (2分)]
所以.
又因為,
所以平面..................... (4分)
所以
所以平面................... (6分)
易證
所以平面................... (8分)
(2)連接,則
所以.............................................................. (9分)
同(1)可證明平面.
所以,且平面平面.
明顯,所以........................................... (10分)
,垂足為,則平面.
連接,則......................................................... (11分)
因為
所以平面,
為二面角平面角的補角. ....................................... (12分)
中,,所以.
中,
所以........................................................... (13分)
所以二面角的余弦值為.......................................... (14分)
練習冊系列答案
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