已知函數(shù)
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)單調(diào)增區(qū)間;
(3)若存在,使得是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)的取值范圍.
(1) (2) 單調(diào)增區(qū)間為 (3)
【解析】
試題分析:⑴因為函數(shù),
所以,,
又因為,所以函數(shù)在點處的切線方程為.
⑵由⑴,.
因為當(dāng)時,總有在上是增函數(shù),
又,所以不等式的解集為,
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
⑶因為存在,使得成立,
而當(dāng)時,,
所以只要即可.
又因為,,的變化情況如下表所示:
減函數(shù) |
極小值 |
增函數(shù) |
所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,的最小值,的最大值為和中的最大值.
因為,
令,因為,
所以在上是增函數(shù).
而,故當(dāng)時,,即;
當(dāng)時,,即.
所以,當(dāng)時,,即,函數(shù)在上是增函數(shù),解得;當(dāng)時,,即,函數(shù)在上是減函數(shù),解得.
綜上可知,所求的取值范圍為.
考點:函數(shù)單調(diào)性最值
點評:第一問主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)值等于該點處的切線斜率;第二問求單調(diào)增區(qū)間主要是通過導(dǎo)數(shù)大于零;第三問的不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值,這是函數(shù)題經(jīng)常用到的轉(zhuǎn)化方法,本題第三問有一定的難度
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東濟(jì)南外國語高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東濟(jì)南外國語高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省南京市、鹽城市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008-2009學(xué)年江蘇省常州高級中學(xué)高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006-2007學(xué)年江蘇省常州高級中學(xué)高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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