Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+3，g（x）=m（x-1）+2（m＞0），若存在x₁∈[0，3]，使得對任意的x₂∈[0，3]，都有f（x₁）=g（x₂），則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{2}}]$
• B． （0，3]
• C． $[{\frac{1}{2}，3}]$
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 存在x₁∈[0，3]，使得對任意的x₂∈[0，3]，都有f（x₁）=g（x₂）?{g（x）|x∈[0，3]}⊆{f（x）|x∈[0，3]}，利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：存在x₁∈[0，3]，使得對任意的x₂∈[0，3]，都有f（x₁）=g（x₂）
?{g（x）|x∈[0，3]}⊆{f（x）|x∈[0，3]}．
∵函數(shù)f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，x∈[0，3]．
∴當x=2時，函數(shù)f（x）取得最小值f（2）=-1．又f（0）=3，f（3）=0．
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，3]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=2-m≥-1}\\{g（3）=2m+2≤3}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．