Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx；
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁、x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）這個方程為絕對值方程，可以利用絕對值的代數(shù)意義去絕對值符號，再分情況解一元二次方程即可，最后方程的解集為兩種情況的并集．
（Ⅱ）先根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，把函數(shù)f（x）化為分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在（0，1）上的解析式為一次函數(shù)，可判斷，當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）為單調(diào)函數(shù)，所以與x軸的交點至多有一個，即f（x）=0在（0，1]上至多一個解．而當(dāng)方程f（x）=0的兩個解若都在（1，2）上，則x₁x₂=-，與兩根都屬于（1，2）矛盾，所以判斷方程f（x）=0在（0，2）上的兩個解x₁、x₂，一個在（0，1]，一個在（1，2）再根據(jù)兩種情況的解析式求出k值，解出范圍，最后，兩種情況求出的k的范圍取交集．
解答：（I）解：當(dāng)k=2時，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0．
①當(dāng)x²-1≥1時，即x≥1或x≤-1時，方程化為2x²+2x-1=0，解得x=．
②當(dāng)x²-1＜0時，即-1＜x＜1，方程化為1+2x=0，解得x=-，
由①②得，方程f（x）=0的解為或x=
（II）解：不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
因為f（x）=
所以f（x）在（0，1]是單調(diào)遞函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解，
若x₁，x₂∈（1，2），則x₁x₂=-∈（1，2）．
由f（x₁）=0，得k=-，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=＜k＜-1．
故當(dāng)-＜k＜-1時，f（x）=0在（0，2）上有兩個解．
點評：本題主要考查了含絕對值的方程的解法，以及方程根的判斷，做題時要善于借助函數(shù)的單調(diào)性與韋達定理．