Question

已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，且當(dāng)n∈N^*，滿足S_n=-3n²+6n，數(shù)列{b_n}滿足bn=（

1

2

）^n-1，數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1

5

a_nb_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=-3n²+6n，利用公式法即可求得a_n，
（2）先寫出數(shù)列{c_n}的通項公式，然后利用錯位相減法計算出T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=-3n²+6n，
∴a₁=s₁=-3+6=3，
n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=-3n²+6n-[-3（n-1）²+6（n-1）]=-6n+9，
經(jīng)檢驗上式對n=1也成立，
∴a_n=-6n+9．
（2）c_n=

1

5

a_nb_n=

1

5

（-6n+9）(

1

2

)n-1=-

3

5

（2n-3）•

1

2n-1

，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=-

3

5

×(-1)•

1

20

+（-

3

5

•1•

1

21

）+…+[-

3

5

（2n-3）•

1

2n-1

]，

1

2

T_n=-

3

5

•(-1)•

1

21

+（

3

5

•1•

1

22

）+…+[-

3

5

（2n-5）•

1

2n-1

]+[-

3

5

（2n-3）•

1

2n

]，
∴兩式相減得，

1

2

T_n=

3

5

+（-

6

5

）（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）+

3

5

(2n-3)•

1

2n

=

3

5

-

6

5

•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+

3

5

(2n-3)•

1

2n

=-

3

5

+

6n+3

5

•

1

2n

，
∴T_n=-

6

5

+

6n+3

5

•

1

2n-1

．

點評：本題主要考查了數(shù)列通項公式以及數(shù)列的前n項和的求法，對于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列，一般采取錯位相減的方法求數(shù)列的前n項和，這種方法要熟練掌握．