如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)當(dāng)k=時(shí),求直線PA與平面PBC所成角的大小;
(Ⅱ)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?
【答案】分析:方法一:(Ⅰ)先作出線面角,由題意知,OD∥PA,故可轉(zhuǎn)化為求OD與面PBC的夾角問題,由題設(shè)條件知取BC的中點(diǎn)E,連PE,則O在線PE上的垂足必在PE上,設(shè)其為F,則可證得∠ODF所求的線面角,下?lián)䲢l件求之.
(Ⅱ)若F是重心,則必有BFD三點(diǎn)共線,又D是中點(diǎn),故定有BC=PB,可求得k=1′.
方法二;建立空間坐標(biāo)系,對(Ⅰ)求出線的方向向量與面的法向量,由公式求得線面角的正弦.
對于(Ⅱ)設(shè)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),由重心坐標(biāo)公式把重心坐標(biāo)用三頂點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,再由線面垂直建立方程求.
解答:解:方法一:
(Ⅰ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.取BC中點(diǎn)E,連接PE,則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F,連接DF,則OF⊥平面PBC∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.
又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成的角的大小等于∠ODF,在Rt△ODG中,sin∠ODF==,
∴PA與平面PBC所成角為arcsin

(Ⅱ)由(I)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影.
∵D是PC的中點(diǎn),
若點(diǎn)F是△PBC的重心,則B,F(xiàn),D三點(diǎn)共線,
∴直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD,∵OB⊥PC,∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1.
反之,當(dāng)k=1時(shí),三棱錐O-PBC為正三棱錐,
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.
方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O(shè)為原點(diǎn),射線OP為非負(fù)z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖).
設(shè)AB=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),
設(shè)OP=h,則P(0,0,h)
(Ⅰ)∵k=,即PA=2a,∴h=a,∴=(a,0,-a),
可求得平面PBC的法向量=(1.-1,-),∴cos<>==,
設(shè)PA與平面PBC所成的角為θ,則sinθ=cos<,>=
(Ⅱ)△PBC的重心G(-a,a,h),∴=(-a,a,h),
∵OG⊥平面PBC,∴,
=(0,a,-h),∴=-=0,∴PA==a,即k=1,
反之,當(dāng)k=1時(shí),三棱錐O-PBC為正三棱錐.
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心.
點(diǎn)評:考查線面角的求法,及由位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程求參數(shù).考查空間想象能力,轉(zhuǎn)化的能力.
練習(xí)冊系列答案
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1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 

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3
,則PA=
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1

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