Question

16．如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=4$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，BD是對(duì)角線，過A點(diǎn)作AE⊥BD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（圖2），且PB=2$\sqrt{17}$．
（1）求證：PO⊥平面ABCE；
（2）過點(diǎn)C作一平面與平面PAE平行，作出這個(gè)平面，寫出作圖過程；
（3）在（2）的結(jié)論下，求出四棱錐P-ABCE介于這兩平行平面間部分的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PO⊥OB，PO⊥AE，由此能證明PO⊥平面ABCE．
（2）過點(diǎn)C作AE的平行線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作PA的平行線交PB于點(diǎn)G，連結(jié)CG，能得到所求的平面．
（3）所求幾何體的體積為V=V_P-ABCD-V_G-BCF，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）在圖1中，AB=4$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，則BD=10，
又AD²=DO•BD，∴DO=2，OB=8，
在圖2中，PO=DO=2，PO²+OB²=2²+8²=68=PB²，
∴PO⊥OB，
又∵PO⊥AE，AE∩OB=O，
∴PO⊥平面ABCE．
解：（2）過點(diǎn)C作AE的平行線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作PA的平行線交PB于點(diǎn)G，
連結(jié)CG，
則平面CFG為過點(diǎn)C與平面PAE平行的平面．
（3）在圖1中，∵△DOE∽△DCB，∴DE=5，
∴S_△ADE=5，S_梯形ABCE=S_ABCD-S_△ADE=35，S_△BCF=S_△ADE=5，
設(shè)CF∩OB于H，連結(jié)GH，
則$\frac{GH}{PO}=\frac{BH}{OB}$，解得GH=$\frac{1}{2}$，
∴所求幾何體的體積為：
V=V_P-ABCD-V_G-BCF=$\frac{1}{3}•{S}_{梯形ABCE}•PO-\frac{1}{3}•{S}_{△BCF}•GH$
=$\frac{1}{3}×35×2-\frac{1}{3}×5×\frac{1}{2}$=$\frac{45}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查滿足條件的平面的作法，考查向何體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．