Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n²+n（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}=1$，n∈N^*，從而能證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列．
（2）求出${a}_{n}={n}^{2}$，從而b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n²+n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}+1$，即$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}=1$，n∈N^*，
又$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
故數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為首項為1，公差為1的等差數(shù)列．…（4分）
解：（2）∵數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}=1+（n-1）×1=n$，∴${a}_{n}={n}^{2}$，
∴b_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和：
S_n=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$]
=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{（n+1）^{2}}$．…（12分）

點評 本題考查數(shù)列為等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．