Question

偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，若不等式f（ax-1）＜f（2+x²）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A．(-2

  3

  ，2)
• B．（-2，2）
• C．(-2

  3

  ，2

  3

  )
• D．(-2，2

  3

  )

Answer 1

分析：根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，得f（x）在[0，+∞）上單調(diào)增且在（-∞，0]上是單調(diào)減函數(shù)，由此結(jié)合2+x²是正數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為|ax-1|＜2+x²恒成立，去絕對(duì)值再用一元二次不等式恒成立的方法進(jìn)行處理，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
∴f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性與的單調(diào)性相反，可得f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)．
∴不等式f（ax-1）＜f（2+x²）恒成立，等價(jià)于|ax-1|＜2+x²恒成立
即不等式-2-x²＜ax-1＜2+x²恒成立，得

x2+ax+1＞0 x2-ax+3＞0

的解集為R
∴結(jié)合一元二次方程根的判別式，得：a²-4＜0且（-a）²-12＜0
解之得-2＜a＜2
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出偶函數(shù)的單調(diào)性，叫我們討論關(guān)于x的不等式恒成立的問(wèn)題，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、一元二次不等式解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．