Question

6．已知曲線(xiàn)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，x≥0）和曲線(xiàn)C₂：x²+y²=r²（x≥0）都過(guò)點(diǎn)A（0，-1），且曲線(xiàn)C₁所在的圓錐曲線(xiàn)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求曲線(xiàn)C₁，C₂的方程
（2）設(shè)點(diǎn)B，C分別在曲線(xiàn)C₁，C₂上，k₁，k₂分別為直線(xiàn)AB，AC的斜率，當(dāng)k₂=4k₁時(shí)，
①直線(xiàn)BC是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由
②設(shè)E（0，1），求|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{BE}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知曲線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)A（0，-1），且曲線(xiàn)C₁所在的圓錐曲線(xiàn)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可確定相應(yīng)幾何量，從而可得曲線(xiàn)C₁和曲線(xiàn)C₂的方程；
（2）①將直線(xiàn)AB，AC的方程分別與橢圓、圓聯(lián)立，進(jìn)而可求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，從而可得直線(xiàn)BC的方程，進(jìn)而可知過(guò)定點(diǎn)，
②由|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{BE}$|=|$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BE}$|，再|(zhì)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積和基本不等式即可求出．

解答 解：（1）由已知得r²=1，b²=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a²=4，
∴曲線(xiàn)C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，（x≥0），
曲線(xiàn)C₂的方程為x²+y²=1，（x≥0）．
（2）①將y=k₁x-1代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=0，x₂=$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，
∴B（$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
將y=k₂x-1代入x²+y²=1，得（1+k₂²）x²-2k₂x=0，
設(shè)C（x₃，y₃），則x₃=$\frac{2{k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，y₃=k₂x₃-1=$\frac{{{k}_{2}}^{2}-1}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，
∴C（$\frac{2{k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+1}$，$\frac{{{k}_{2}}^{2}-1}{{{k}_{2}}^{2}+1}$），
∵k₂=4k₁，∴C（$\frac{8{k}_{1}}{16{{k}_{1}}^{2}+1}$，$\frac{16{{k}_{1}}^{2}-1}{16{{k}_{1}}^{2}+1}$），
∴直線(xiàn)BC的斜率k_BC=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$，
∴直線(xiàn)BC的方程為：y-$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$（x-$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
即y=-$\frac{1}{4{k}_{1}}$x+1，
∴直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)（0，1）．
②∵$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{8{k}_{1}}{16{{k}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{16{{k}_{1}}^{2}-1}{16{{k}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，1-$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$）=（-$\frac{8{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{2}{1+4{k}_{1}^{2}}$），
∴|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{BE}$|=|$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BE}$|=|$\frac{-64{k}_{1}^{2}}{（1+4{k}_{1}^{2}）（1+16{k}_{1}^{2}）}$+$\frac{64{k}_{1}^{2}}{（1+4{k}_{1}^{2}）^{2}}$+$\frac{32{k}_{1}^{2}-2}{（1+4{k}_{1}^{2}）•（1+16{k}_{1}^{2}）}$-$\frac{2{k}_{1}^{2}-2}{（1+4{k}_{1}^{2}）^{2}}$|
=|-$\frac{2+8{k}_{1}^{2}}{（1+4{k}_{1}^{2}）^{2}}$+$\frac{62{k}_{1}^{2}+2}{（1+4{k}_{1}^{2}）^{2}}$|
=$\frac{54{k}_{1}^{2}}{1+8{k}_{1}^{2}+16{k}_{1}^{4}}$，
=$\frac{54}{\frac{1}{{k}_{1}^{2}}+16{k}_{1}^{2}+8}$≤$\frac{54}{8+8}$=$\frac{27}{8}$，當(dāng)k₁=±2時(shí)取等號(hào)
故|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{BE}$|的最大值$\frac{27}{8}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)軌跡方程的求解，考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算和基本不等式，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)BC的方程是，屬于難題．