Question

【題目】已知函數f（x）=a（2cos2 +sinx）+b
（1）若a=﹣1，求f（x）的單調增區(qū)間；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=a（1+cosx+sinx）+b= asin（x+ ）+a+b，

當a=﹣1時，由2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ π，得2kπ+ ≤x≤2kπ+ π，

∴f（x）的單調增區(qū)間為[2kπ+ ，2kπ+ π]（k∈Z）

（2）解：∵0≤x≤π，∴ ≤x+ ≤ π，

∴﹣ ≤sin（x+ ）≤1，依題意知a≠0，

分兩種情況考慮：

1°當a＞0時， ，

∴a=3（ ﹣1），b=5；

2°當a＜0時， ，

∴a=﹣3（ ﹣1），b=8，

綜上所述：a=3 ﹣3，b=5或a=3﹣3 ，b=8

【解析】函數f（x）解析式利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，（1）將a=﹣1代入，利用正弦函數的遞增區(qū)間即可確定出f（x）的遞增區(qū)間；（2）根據x的范圍求出這個角的范圍，確定出正弦函數的值域，根據f（x）的值域，分a小于0與大于0兩種情況考慮，分別列出關于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．