Question

8．（設(shè)全集是實數(shù)集R，A={x|2x²-7x+3≤0}，B={x|x²+a＜0}，
（1）當(dāng)a=-4時，求A∩B和A∪B；
（2 若（∁_RA）∩B=B，求負(fù)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-4時，解一元二次不等式求得A 和B，再根據(jù)兩個集合的并集的定義求得 A∪B．
（2）由（∁_RA）∩B=B，可得 B⊆（∁_RA）．求得（∁_RA）和 B，考查集合的端點值的大小關(guān)系可得$\sqrt{-a}$≤$\frac{1}{2}$，從而求得負(fù)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-4時，A={x|2x²-7x+3≤0}={x|$\frac{1}{2}$≤x≤3}，B={x|x²+a＜0}={x|x²＜4}={x|-2＜x＜2}，
∴A∪B={x|-2＜x≤3}．
（2）若（∁_RA）∩B=B，則 B⊆（∁_RA）．又（∁_RA）={x|x＜$\frac{1}{2}$，或 x＞3}，且a＜0，
∴B={x|-$\sqrt{-a}$＜x＜$\sqrt{-a}$}，
∴$\sqrt{-a}$≤$\frac{1}{2}$，解得-$\frac{1}{4}$≤a＜0，即負(fù)數(shù)a的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$，0）．

點評 本題主要考查一元二次不等式的解法，兩個集合的交集、并集、補集的運算，集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．