Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種方法將所有的整點(diǎn)染色，每一個(gè)整點(diǎn)染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得

（1）每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無(wú)窮多條平行于橫軸的直線(xiàn)上；

（2）對(duì)于任意白點(diǎn)、紅點(diǎn)及黑點(diǎn)，總可以找到一個(gè)紅點(diǎn)，使為一平行四邊形。證明你設(shè)計(jì)的方法符合上述要求。

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

我們可將整點(diǎn)按以下方法染色:

當(dāng)是偶數(shù)時(shí),染紅色;

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)而為偶數(shù)時(shí),染白色

當(dāng)為偶數(shù)而為奇數(shù)時(shí),染黑色.

這樣染色顯然符合要求(1)

以下證明這樣的染色方法也符合要求,(2).

設(shè)點(diǎn)為白色,點(diǎn)為紅色,點(diǎn)為黑色.

我們先證明不共線(xiàn).事實(shí)上,與的奇偶性不同,與都是奇數(shù),從而.

因是奇數(shù),故;,若

則這三點(diǎn)不共線(xiàn).

若,則

,故這三點(diǎn)仍不共線(xiàn)

因此,在任何情況下A,B,C不共線(xiàn).

再取點(diǎn),其中

.

顯然D為整點(diǎn),且因AC和BD的中點(diǎn)都是

所以四邊形ABCD為平行四邊形.

又因是偶數(shù),故點(diǎn)D恰為紅色點(diǎn),即這樣的染色方法也滿(mǎn)足要求(2).

解二:用拉丁字母表偶數(shù);希臘字母 表奇數(shù).

凡縱、橫坐標(biāo)均為偶數(shù)的整點(diǎn),即整點(diǎn),…染成白色;縱、橫坐標(biāo)均為奇數(shù)的整點(diǎn),即整點(diǎn),…染成黑色;其余整點(diǎn)染成紅色.

這樣的染色方法,顯然符合要求(1).

以下證明這樣的染色方法也符合要求(2).

設(shè)白點(diǎn)A為,黑點(diǎn)C為,紅點(diǎn)B為或首先,當(dāng)B的坐標(biāo)為時(shí), 不共線(xiàn)這是因?yàn)?/span>

其次,線(xiàn)段AC的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,

取整點(diǎn),由于為奇數(shù), 為偶數(shù),故D為紅點(diǎn),且線(xiàn)段的中點(diǎn)也是M,即相互平分,故四邊形是一個(gè)平行四邊形,而是這個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),

當(dāng)B的坐標(biāo)為時(shí),同理可證結(jié)論成立.

說(shuō)明:此題的第(2)條應(yīng)加上“不包括蛻化的平行四邊形”的條件.