解:(Ⅰ)由S
n=2-a
n①
當(dāng)n=1時(shí),S
1=2-a
1,∴a
1=1.
取n=n+1得:S
n+1=2-a
n+1②
②-①得:S
n+1-S
n=a
n-a
n+1即a
n+1=a
n-a
n+1,故有2a
n+1=a
n(n=1,2,3,…),
∵a
1=1≠0,∴a
n≠0,∴
(n∈N
*).
所以,數(shù)列{a
n}為首項(xiàng)a
1=1,公比為
的等比數(shù)列.
則a
n=
(n∈N
*).
(Ⅱ)∵b
n+1=b
n+a
n,∴
,
則
,
,
,
…
.
將以上n-1個(gè)等式累加得:
=
=
.
∴
=
.
(Ⅲ)由
.
T
n=c
1+c
2+c
3+…+c
n.
得:
③
④
③-④得:
=
=
.
∴
.
分析:(Ⅰ)在題目給出的遞推式中取n=1求出a
1,取n=n+1得到第二個(gè)遞推式,兩式作差后整理即可說(shuō)明給出的數(shù)列是等比數(shù)列,則通項(xiàng)公式可求;
(Ⅱ)把(Ⅰ)中求出的a
n代入遞推式b
n+1=b
n+a
n,然后利用累加法可求數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)把(Ⅱ)中求出的b
n代入c
n=
,整理后利用錯(cuò)位相減法求c
n的前n項(xiàng)和T
n.
點(diǎn)評(píng):本題考查了由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了累加法,訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,涉及一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的積數(shù)列,錯(cuò)位相減是求其前n項(xiàng)和重要的方法.此題是中檔題.