Question

已知等比數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}滿足
（1）判斷{a_n}是何種數(shù)列，并給出證明；
（2）若a₈+a₁₃=m，求b₁b₂…b₂₀．

Answer 1

解：（1）設等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵
∴，可得a_n=a₁+（n-1）log₃q
∴a_n+1=a₁+nlog₃q，a_n+1-a_n=log₃q（常數(shù)），
∴數(shù)列{a_n}是以log₃q為公差的等差數(shù)列．
（2）∵a₈+a₁₃=m，
∴由等差數(shù)列性質得a₁+a₂₀=a₈+a₁₃=m
∴數(shù)列{a_n}的前20項的和為：
∴
分析：（1）設等比數(shù)列{b_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可得，兩邊取以3為底的對數(shù)，可得數(shù)列{a_n}的通項公式，從而得到數(shù)列{a_n}是以log₃q為公差的等差數(shù)列．
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質，得到a₁+a₂₀=a₈+a₁₃=m，從而得到數(shù)列{a_n}的前20項的和為10（a₁+a₂₀）=10m，再由，得到b₁b₂…b₂₀的值．
點評：本題以指數(shù)、對數(shù)運算為載體，考查了等差數(shù)列的定義與性質、等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列與等比數(shù)列間的關系等知識點，屬于基礎題．