Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在不等于零的常數(shù)p，使{

1

an+p

}是等差數(shù)列，若存在，求出p的公差d的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*）求a₂，a₃，a₄，a₅的值，觀察各項(xiàng)分子，分母的特點(diǎn)，于是可以寫出通項(xiàng)公式a_n，
（2）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在不等于零的常數(shù)p，使{

1

an+p

}是等差數(shù)列，再利用

1

an+p

+d=

da n+(1+pd)

a n+p

，是關(guān)于變量a_n的恒等式，求出q和p的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）a₁=0，a₂=

1+0

3-0

=

1

3

，a₃=

1+ 1 3

3- 1 3

=

1

2

，
a₄=

3

5

，a₅=

2

3

，…
觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=

n-1

n+1

．
（2）設(shè)存在不等于零的常數(shù)p，使{

1

an+p

}是等差數(shù)列，
則

1

an+1+p

=

1

an+p

+d，
而

1

an+1+p

=

1

1+an 3-an +p

=

3-a n

(1-p)a n+(3p+1)

，

1

an+p

+d=

da n+(1+pd)

a n+p

，
∴

3-a n

(1-p)a n+(3p+1)

=

da n+(1+pd)

a n+p

，
化簡得：（1+d-pd）a_n²+（d-2+4pd-p²d）a_n+（1+pd+3p²d）=0，
因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量a_n的恒等式，
∴

1+d-pd=0 d-2+4pd-p 2d=0 1+pd+3p 2d=0

解得：

p=-1 d=- 1 2

，
∴存在不等于零的常數(shù)p=-1，使{

1

an+p

}是等差數(shù)列，且公差為-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式和等差關(guān)系的確定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握歸納法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，本題難度一般．