Question

3．如圖1，ABCD 為梯形，其中AD∥BC，AB⊥BC，EF 為梯形中位線，將四邊形ADFE 沿EF 折起到四邊形A'D'FE 的位置，連接A'B，A'C，如圖2．設(shè)點(diǎn)G 為線段A'B 上不同于A'，B 的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面A'BC；
（Ⅱ）若點(diǎn)G 為線段A'B 的中點(diǎn)，求證：A'B⊥平面GEF；
（Ⅲ）作出平面GEF 與平面A'BC的交線，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可證EF∥BC，利用線面平行的判定定理即可得證．
（Ⅱ）由點(diǎn)G 為線段A'B 的中點(diǎn)，EA'=EB，可證EG⊥A'B，再由線面垂直的性質(zhì)可證EF⊥A'B，即可證明A'B⊥平面GEF；
（Ⅲ）取AC的中點(diǎn)H，連接GH，則由GH∥EF，可證GH?平面GEF，又GH?平面A'BC，從而可得平面GEF 與平面A'BC的交線．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵ABCD 為梯形，其中AD∥BC，EF 為梯形中位線，
∴EF∥BC，
又∵BC?平面A'BC，EF?平面A'BC，
∴EF∥平面A'BC；
（Ⅱ）證明：∵點(diǎn)G 為線段A'B 的中點(diǎn)，EA'=EB，
∴EG⊥A'B，
又∵EF∥BC，AB⊥BC，
∴EF⊥EA'，EF⊥EB，
∵EA'∩EB=E，A'B?平面A'BC，
∴EF⊥A'B，
∵EG?平面GEF，EF?平面GEF，
∴A'B⊥平面GEF；
（Ⅲ）取AC的中點(diǎn)H，連接GH，則GH為平面GEF 與平面A'BC的交線，
證明：∵GH∥EF，
∴點(diǎn)H在平面GEF 上，即GH?平面GEF，
又∵GH?平面A'BC，
∴平面GEF∩平面A'BC=GH．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查對(duì)定理的掌握情況和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．