Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}cos（2x-\frac{π}{3}）（x∈R）$，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為π
• B． 函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{5π}{12}，0）$對(duì)稱
• C． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上是減函數(shù)
• D． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{6}$對(duì)稱

Answer 1

分析 根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)稱軸處取得函數(shù)的最值，對(duì)稱中心是函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)，由x的范圍求得函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)命題的正誤．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}cos（2x-\frac{π}{3}）（x∈R）$，
f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，故A正確；
當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，y=$\sqrt{3}$cos（2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=0，
∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{5π}{12}，0）$對(duì)稱，B正確；
x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）不是減函數(shù)，C錯(cuò)誤；
當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，y=$\sqrt{3}$cos（2×$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$為最大值，
∴f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，D正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題：三角函數(shù)在對(duì)稱軸處取得函數(shù)的最值，對(duì)稱中心是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值的求解采用整體處理；是基礎(chǔ)題目．