Question

如圖，在四面體ABCD中，平面EFGH分別平行于棱CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）設(shè)

DE

DB

=λ(0＜λ＜1)，問λ為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明四邊形EFGH是矩形．
（2）根據(jù)邊長關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，然后求四邊形EFGH的面積．

解答：解：（1）證明：∵CD∥面EFGH，CD?平面BCD，
而平面EFGH∩平面BCD=EF．∴CD∥EF同理HG∥CD．∴EF∥HG
同理HE∥GF．∴四邊形EFGH為平行四邊形…（3分）
由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF（或其補(bǔ)角）為CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB．∴HE⊥EF．∴四邊形EFGH為矩形．…..（6分）
（2）解：由（1）可知在△ABD中EH∥AB，∴

DE

DB

=

EH

AB

=λ，所以EH=λb，
在△BCD中EF∥CD，∴

BE

BD

=

EF

CD

=1-λ，所以EF=a（1-λ）  …（8分）
又EFGH是矩形，故四邊形EFGH的面積S=a（1-λ）•λb≤ab(

λ+1-λ

2

)2=

1

4

ab，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1-λ，
即λ=

1

2

時(shí)等號成立，即E為BD的中點(diǎn)時(shí)，矩形EFGH的面積最大為

1

4

ab…．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．