Question

若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱(chēng)x比y遠(yuǎn)離m．
（Ⅰ）若x²-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）的定義域．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

Answer 1

解：（Ⅰ） 根據(jù)定義可得：|x²-1|＞1，∴x²-1＞1或x²-1＜-1，解得；
（Ⅱ）（1）①若|sinx|＞|cosx|，（*）
則當(dāng)時(shí)，cosx=0，上式（*）成立，此時(shí)，f（x）=sinx；
則當(dāng)（k∈Z）時(shí)，（*）可化為|tanx|＞1，即tanx＞1或tanx＜-1，
解得x∈．
綜上可知：當(dāng)x∈（k∈Z）時(shí)，f（x）=sinx；
②若|sinx|＜|cosx|，由①可知：x∈（k∈Z）．
∴．
（2）其基本性質(zhì)如下：①解析式與定義域見(jiàn)上；②畫(huà)出圖象如圖所示：
③值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/523791.png' />；④非奇非偶函數(shù)；⑤在定義域內(nèi)不單調(diào)；⑥是周期為2π的函數(shù)．
分析：（Ⅰ）根據(jù)定義列出不等式即可求出；
（Ⅱ）通過(guò)解出|sinx|＞|cosx|、|sinx|＜|cosx|，即可求出f（x）的解析式及定義域；
點(diǎn)評(píng)：周期理解新定義、熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．