Question

已知拋物線上y=x²存在兩個不同的點M、N關(guān)于y=-kx+

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2

對稱，求k的取值范圍．（兩種方法解答）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出M、N兩點坐標，利用對稱性，求出它們中點P的坐標，根據(jù)P在拋物線內(nèi)，建立不等式，即可求出k的取值范圍．

解答： 解：
解法一：設(shè)拋物線上y=x²存在兩個不同的點M、N關(guān)于y=-kx+

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對稱，MN的中點為P（x₀，y₀）（x₀≠0），
∴k_MN=

y1-y2

x1-x2

=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=2x₀=

1

k

，
∴x₀=

1

2k

，
∵P∈l，
∴y₀=-kx₀+

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2

，
∴y₀=4，
∵P在拋物線內(nèi)，
∴y₀＞x₀²，
即4＞（

1

2k

）²，
∴16k²-1＞0，
解得：k∈（-∞，-

1

4

）∪（

1

4

，+∞）；
解法二：設(shè)M、N的橫坐標分別a、b，則對應(yīng)的縱坐標是a²、b²，即M（a，a²），N（b，b²）
因為MN關(guān)于y=-kx+

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對稱，所以MN的中點在直線上，并且MN與直線垂直，即MN的斜率與-k的積是-1，
所以有：

a2-b2

a-b

×(-k)=-1，化簡有 （a+b）k=1，

a2+b2

2

=-k×

a+b

2

+

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2

，化簡有 a²+b²=8，
即變成了在 a²+b²=8條件下求k=

1

a+b

的取值范圍，
令a=2

2

sint，b=2

2

cost，
這時k=

1

2 2 sint+2 2 cost

，

1

k

=4sin(t+

π

4

)，
其中-1≤sin（t+

π

4

）≤1
所以有k∈（-∞，-

1

4

）∪（

1

4

，+∞）．

點評：本題考查點關(guān)于線的對稱問題，兩條直線垂直的性質(zhì)，中點公式的應(yīng)用，屬于中檔題．