Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}={2^{n+1}}-2$，數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）{{log}_2}{a_{2n-1}}}}+{2^{2n-1}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡整理即可得到所求通項公式；
（2）求出${b_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）{{log}_2}{a_{2n-1}}}}+{2^{2n-1}}$=$\frac{1}{（2n+1）lo{g}_{2}{2}^{2n-1}}$+2^2n-1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$+2^2n-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）+2^2n-1，再由裂項相消求和和等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=4-2=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
上式對n=1也成立．
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ，n∈N*；
（2）${b_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）{{log}_2}{a_{2n-1}}}}+{2^{2n-1}}$=$\frac{1}{（2n+1）lo{g}_{2}{2}^{2n-1}}$+2^2n-1
=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$+2^2n-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）+2^2n-1，
數(shù)列{b_n}的前項和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）+$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）+$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-$\frac{1}{4n+2}$-$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和和裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．