Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為________．

Answer 1

4
分析：弦求出f′（x）=0時(shí)x的值，進(jìn)而討論函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，可轉(zhuǎn)化為最小值大于等于0即可求出a的范圍．
解答：由題意，f′（x）=3ax²-3，
當(dāng)a≤0時(shí)3ax²-3＜0，函數(shù)是減函數(shù)，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，與已知矛盾，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3ax²-3=0解得x=±，
①當(dāng)x＜-時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)，
②當(dāng)-＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數(shù)，
③當(dāng)x＞時(shí)，f（x）為遞增函數(shù)．
所以f（ ）≥0，且f（-1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（ ）≥0，即a•-3•+1≥0，解得a≥4，
由f（-1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
綜上a=4為所求．
故答案為：4．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查學(xué)生解決函數(shù)恒成立的能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．