Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，第二象限的點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足bx₀+ay₀=0，若|PF₁|：|PF₂|：|F₁F₂|=1：$\sqrt{3}$：2，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可知∠PF₁F₂=$\frac{π}{3}$，∠PF₂F₁=$\frac{π}{6}$，根據(jù)直線的斜率公式，求得x₀=-$\frac{c}{2}$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，代入bx₀+ay₀=0，求得a和b的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由|PF₁|：|PF₂|：|F₁F₂|=1：$\sqrt{3}$：2，則PF₁⊥PF₂，
則∠PF₁F₂=$\frac{π}{3}$，∠PF₂F₁=$\frac{π}{6}$，
由${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$=tan∠PF₁F₂=$\sqrt{3}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$=-tan∠PF₂F₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{x}_{0}-c}{{x}_{0}+c}$=-3，解得：x₀=-$\frac{c}{2}$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由P（x₀，y₀）滿足bx₀+ay₀=0，即b（-$\frac{c}{2}$）+a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=0，整理得：b=$\sqrt{3}$c，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
故雙曲線C的離心率2，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．