Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，BD=2AD=8，AB=4$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）證明：平面PBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AD⊥BD，從而BD⊥平面PAD，由此能證明平面PBD⊥平面PAD．
（II）以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PA-D的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，BD=8，AB=4$\sqrt{5}$，
∴AD²+BD²=AB²，故AD⊥BD．…（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，…（4分）
又BD?平面PBD，
故平面PBD⊥平面PAD．…（5分）
解：（II）以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，如圖建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2$\sqrt{3}$），B（0，8，0），
$\overrightarrow{PA}=（2，0，-2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AB}$=（-4，8，0）．…（7分）
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{2x-2\sqrt{3}z=0}\\{-4x+8y=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}z}\\{x=2y}\end{array}}\right.$，
令$\sqrt{3}$則$y=\sqrt{3}，z=2$，則$\overrightarrow n=（2\sqrt{3}，\sqrt{3}，2）$．…（9分）
平面PAD的一個法向量為$\overrightarrow m=（0，1，0）$，
則$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n||\overrightarrow m|}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{19}}}=\frac{{\sqrt{57}}}{19}$，…（11分）
則二面角B-PA-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{57}}}{19}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．