Question

函數(shù)．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）若a=2，證明函數(shù)在（2，+∞）單調增；
（3）對任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范圍．

Answer 1

（1）解：f（x）是奇函數(shù)，證明如下：
由題意可得，函數(shù)的定義域{x|x≠0}關于原點對稱
∵f（-x）=-x-=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明；當a=2時，f（x）=x+，∴
當x＞2時，＞0恒成立
∴函數(shù)在（2，+∞）單調增；
（3）解：當a≤0時，在x∈（1，2）單調遞增
∴1+a
∴1+a≥3
∴a≥2（舍）
當a＞0時，在（0，]單調遞減，在[，+∞）單調遞增
∴2＞3
∴
∴a的范圍是．
分析：（1）函數(shù)是奇函數(shù)．利用奇函數(shù)的定義，先確定函數(shù)的定義域關于原點對稱，再驗證f（-x）=-f（x）即可；
（2）求導數(shù)，證明導數(shù)大于0即可；
（3）對a討論，確定函數(shù)在（1，2）上的單調性，利用f（x）_min＞3，即可求得a的范圍．
點評：本題考查函數(shù)的單調性與奇偶性，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調性是關鍵．