Question

經(jīng)過雙曲線x2-

y2

3

=1的左焦點F₁作傾斜角為

π

6

的直線AB，分別交雙曲線的左、右支為點A、B．
（Ⅰ）求弦長|AB|；
（Ⅱ）設(shè)F₂為雙曲線的右焦點，求|BF₁|+|AF₂|-（|AF₁|+|BF₂|）的長．

Answer 1

分析：（I）求出雙曲線的焦點坐標，求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點的距離公式求出|AB|．
（Ⅱ）利用雙曲線的定義，即可求|BF₁|+|AF₂|-（|AF₁|+|BF₂|）的長．

解答：解析：（Ⅰ）∵雙曲線的左焦點為F₁（-2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程可設(shè)為y=

3

3

(x+2)，代入方程x2-

y2

3

=1得，8x²-4x-13=0，（4分）
∴x1+x2=

1

2

，x1x2=-

13

8

，
∴|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+ 1 3

•

( 1 2 )2+4× 13 8

=3（8分）
（Ⅱ）∵F₂為雙曲線的右焦點，且雙曲線的半實軸長a=1
∴|AF₁|+|BF₂|-（|BF₁|+|AF₂|）=（|AF₁|-|AF₂|）+（|BF₂|-|BF₁|）=4a=4（12分）

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．解決直線與圓錐曲線的弦長問題常將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式．