已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設(shè)第（2）問中的與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足,求的取值范圍.

（1）；（2）（3）

解析試題分析：（1）雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為。根據(jù)題意原點到直線的距離為，又因為可解得。（2）由題意知即點到直線，和到點的距離相等，根據(jù)橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點以直線為準(zhǔn)線的拋物線。（3）由的方程為知設(shè)，根據(jù)得出的關(guān)系，用兩點間距離求，再用配方法求最值。
試題解析：解（1）易知：雙曲線的離心率為，，
即 ，                             1分
又由題意知：，                          2分
橢圓的方程為.                                   3分
（2） 
動點到定直線的距離等于它到定點的距離       5分
動點的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點的拋物線，              6分
點的軌跡的方程為.                                7分
（3）由（2）知：,設(shè)，
則，                      8分

，                  9分
由，左式可化簡為：，               10分
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，                       11分
又，
當(dāng)，即時，，                  13分
故<

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線的方程為，過拋物線上一點()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(三點互不相同)，且滿足（且）．
（1）求拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)直線上一點，滿足，證明線段的中點在軸上；
（3）當(dāng)=1時，若點的坐標(biāo)為，求為鈍角時點的縱坐標(biāo)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對于任意實數(shù)k，直線(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒過定點F.設(shè)橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2＋.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)(m，n)是橢圓C上的任意一點，圓O：x2＋y2＝r2(r＞0)與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置關(guān)系．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)上任一點P到兩個焦點的距離的和為2，P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為－.設(shè)直線l過橢圓C的右焦點F，交橢圓C于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若＝ (O為坐標(biāo)原點)，求|y1－y2|的值；
(2)當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時，在x軸上是否總存在點Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補角？若存在，求出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓＝1上任一點P，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，設(shè)點M在PQ上，且＝2，點M的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程；
(2)過點D(0，－2)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)N是過點且平行于x軸的直線上一動點，且滿足＝＋ (O為原點)，且四邊形OANB為矩形，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若＋＝8，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，焦距為的橢圓的兩個頂點分別為和，且與n，共線．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓有兩個不同的交
點和，且原點總在以為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的左焦點為,且過點.

(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點P(-2,0)的直線與橢圓E交于A、B兩點，且滿足.
①若,求的值;
②若M、N分別為橢圓E的左、右頂點，證明:

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經(jīng)過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）問：直線與能否垂直？若能，之間滿足什么關(guān)系；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點，且點在橢圓上.若，求橢圓的離心率.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案