設(shè)橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經(jīng)過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）問：直線與能否垂直？若能，之間滿足什么關(guān)系；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點，且點在橢圓上.若，求橢圓的離心率.

（1）直線與不能垂直；（2）

解析試題分析：（1）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去整理為關(guān)于的一元二次方程，因為有兩個交點則判別式應(yīng)大于0，由韋達定理可得根與系數(shù)的關(guān)系，用中點坐標公式求點的坐標。求出直線的斜率，假設(shè)兩直線垂直則斜率相乘等于，解出的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式及橢圓中的關(guān)系判斷假設(shè)成立與否。（2）∵M為ON的中點，M為AB的中點，∴四邊形OANB為平行四邊形.
∵，∴四邊形OANB為矩形，∴，轉(zhuǎn)化為向量問題，可得的關(guān)系式。由中點坐標公式可得點的坐標，將其代入橢圓方程，與上式聯(lián)立消去即可得之間滿足的關(guān)系式。將代入之間的關(guān)系式，可求其離心率。
試題解析：解答：（1）∵斜率為1的直線不經(jīng)過原點，而且與橢圓相交于兩點，
∴可以設(shè)直線的方程為.
∵，∴，
∴.    ①             1分
∵直線與橢圓相交于兩點，∴

. ②          2分
且.  ③              3分
∵為線段的中點，∴,
∴，∴.     4分
假設(shè)直線與能垂直.
∵直線的斜率為1，∴直線的斜率為-1，
∴，∴.                  5分
∵在橢圓方程中，，
∴假設(shè)不正確，在橢圓中直線與不能垂直.             6分
（2）∵M為ON的中點，M為AB的中點，∴四邊形OANB為平行四邊形.
∵，∴四邊形OANB為矩形，∴，         7分
∴，∴，∴，
∴，
∴，整理得.   8分
∵點在橢圓上，∴，∴.    9分
此時，滿足，
消去得，即.            10分
設(shè)橢圓的離心率為e，則，∴，
∴，∴，
∴，∵

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設(shè)第（2）問中的與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足,求的取值范圍.

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在平面直角坐標系中，動點滿足：點到定點與到軸的距離之差為.記動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過點的直線交曲線于、兩點，過點和原點的直線交直線于點，求證：直線平行于軸.

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已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸上，拋物線上的點到的距離為2，且的橫坐標為1．直線與拋物線交于，兩點.
（1）求拋物線的方程；
（2）當直線，的傾斜角之和為時，證明直線過定點.

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已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線經(jīng)過、兩點
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線交雙曲線于、兩點，且線段被圓：三等分，求實數(shù)、的值

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已知橢圓的離心率為，直線與圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓的交點為，求弦長.

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拋物線，其準線方程為，過準線與軸的交點做直線交拋物線于兩點.
（1）若點為中點，求直線的方程；
（2）設(shè)拋物線的焦點為，當時，求的面積．

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已知橢圓上的點到左右兩焦點的距離之和為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點的直線交橢圓于兩點，若軸上一點滿足，求直線的斜率的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓兩焦點坐標分別為,，且經(jīng)過點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知點，直線與橢圓交于兩點．若△是以為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線的方程．

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