Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{aln（x+1），x≥0}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）=e^x-1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a在R上變化時(shí)，討論函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）求證：$\frac{1095}{1000}$＜$\root{10}{e}$＜$\frac{3000}{2699}$．（參考數(shù)據(jù)：ln1.1≈0.0953）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a＞0時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f （x）的極值；
（2）當(dāng)a在R上變化時(shí)，討論函數(shù)f （x）與g （x）的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論h（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（3）由（Ⅱ）知，a=1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＞0恒成立，即e^x＞1+ln（x+1），令x=$\frac{1}{10}$；當(dāng)a=-1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＜0恒成立，令x=-$\frac{1}{10}$，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=aln（x+1），函數(shù)增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax，
∴f′（x）=x²-a，
令f′（x）=0，解得x=-$\sqrt{a}$，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＜-$\sqrt{a}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即-$\sqrt{a}$＜x＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-$\sqrt{a}$時(shí)，函數(shù)有極大值，即f（-$\sqrt{a}$）=$\frac{2a\sqrt{a}}{3}$，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有極小值，即f（0）=0，
（2）解：即討論h（x）=g（x）-f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，h（0）=0，故必有一個(gè)零點(diǎn)為x=0．
①當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=g（x）-f（x）=e^x-1-aln（x+1），h'（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$，
（ⅰ）若a≤1，則$\frac{a}{x+1}$＜1＜e^x，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，h（x）＞h（0）=0，故此時(shí)h（x）在（0，+∞）無(wú)零點(diǎn)；
（ⅱ）若a＞1，h'（x）=e^x-$\frac{a}{x+1}$，在（0，+∞）遞增，h′（x）＞h′（0）=1-a，1-a＜0
且x→+∞時(shí)，h′（x）→+∞，則?x₀∈（0，+∞）使h'（x₀）=0
進(jìn)而h（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，h（x₀）＜h（0）=0，
由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)率知，x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，h（x）在（x₀，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，在（0，x₀]無(wú)零點(diǎn)，故h（x）在（0，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)，
②當(dāng)x＜0時(shí)，h'（x）=e^x-x²+a，
設(shè)θ（x）=h′（x），θ′（x）=e^x-2x＞0對(duì)x＜0恒成立，
故h′（x）=e^x-x²+a在（-∞，0）遞增，h′（x）＜h′（0）=1+a，且x→-∞時(shí)，h′（x）→-∞；
（�。┤�1+a≤0，即a≤-1，則h′（x）＜h′（0）=1+a≤0，故h（x）在（-∞，0）遞減，所以h（x）＞h（0）=0，h（x）在（-∞，0）無(wú)零點(diǎn)；
（ⅱ）若1+a＞0，即a＞-1，則?x₀∈（-∞，0）使h′（x₀）=0，
進(jìn)而h（x）在（-∞，x₀）遞減，在（x₀，0）遞增，h（x₀）＜h（0）=0
且x→-∞時(shí)，h（x）在（-∞，x₀）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[x₀，0）無(wú)零點(diǎn)，故h（x）在（-∞，0）有一個(gè)零點(diǎn)，
綜合①②，當(dāng)a≤-1時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-1＜a≤1時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)a＞1時(shí)有三個(gè)公共點(diǎn)，
（3）由（2）知，a=1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＞0恒成立，即e^x＞1+ln（x+1）
令x=$\frac{1}{10}$，則${e}^{\frac{1}{10}}$＞1+ln1.1≈1.0953＞$\frac{1095}{1000}$
由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，g（x）＞f（x）對(duì)x＜0恒成立，即e^x＞$\frac{1}{3}$x³+x+1，
令x=-$\frac{1}{10}$，則${e}^{\frac{1}{10}}$＞$\frac{1}{3}$（-$\frac{1}{10}$）³-$\frac{1}{10}$+1=$\frac{2699}{3000}$，
∴$\frac{1095}{1000}$＜$\root{10}{e}$＜$\frac{3000}{2699}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度大．