Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 因?yàn)閚≥2，由s_n-s_n-1=a_n，代入已知等式中求出s_n，然后利用做差法得出數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，可求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)s_n-s_n-1=a_n，化簡可得a_n．

解答 解：∵${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），
∴S_n=$\frac{{S}_{n-1}}{2{S}_{n-1}+1}$，
即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
當(dāng)n=1時，成立，
∴s_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
當(dāng)n=1時，a₁=2，不成立，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2，n∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生會利用數(shù)列的遞推式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及掌握利用做差法求數(shù)列和的數(shù)學(xué)思想解題．本題是中檔題．