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2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=1,S2n=an(Sn-12)(n≥2),求an

分析 因?yàn)閚≥2,由sn-sn-1=an,代入已知等式中求出sn,然后利用做差法得出數(shù)列{1Sn}是以1為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列,可求出通項(xiàng)公式,再根據(jù)sn-sn-1=an,化簡可得an

解答 解:∵S2n=an(Sn-12)(n≥2),
∴Sn=Sn12Sn1+1,
1Sn-1Sn1=2,
∵a1=1,
1S1=1a1=1,
∴數(shù)列{1Sn}是以1為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列,
1Sn=1+2(n-1)=2n-1,
當(dāng)n=1時(shí),成立,
∴sn=12n1,
∴an=Sn-Sn-1=12n1-12n3=-22n12n3,
當(dāng)n=1時(shí),a1=2,不成立,
故an={1n=122n12n3n2nN+

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生會(huì)利用數(shù)列的遞推式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及掌握利用做差法求數(shù)列和的數(shù)學(xué)思想解題.本題是中檔題.

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