Question

7．已知S_n=1×2+2×3+3×4+…+n（n+1），計(jì)算S₁，S₂，S₃，并歸納前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 利用已知即可直接計(jì)算S₁，S₂，S₃，由已知可得S_n=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，化簡(jiǎn)即可得解．

解答 解：∵S_n=1×2+2×3+3×4+…+n（n+1），
∴S₁=1×2=2，
S₂=1×2+2×3=8，
S₃=1×2+2×3+3×4=20，
∴S_n=1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）
=（1+1）+（2²+2）+（3²+3）+…+（n²+n）
=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+3²+…+n²）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$
=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的求和公式的求法，考查了歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題．