Question

數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）等差數(shù)列{b_n}的前n項和T_n有最大值，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
∴a₂=2a₁+1=3，
a₃=2（a₁+a₂）+1=9…（4分）
（2）a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，
兩式相減得a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，
∴
∴{a_n}是以a₁=1為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1…（8分）
（3）等差數(shù)列{b_n}中，設(shè)首項為b₁，公差為d，
由T₃=15得：3b₁+3d=15，
由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列得：（3+b₁+d）²=（1+b₁）（9+b₁+2d）
解之得（不合） ，
∴T_n=-5n²+20n …（14分）
分析：（1）由a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．知a₂=2a₁+1=3，a₃=2（a₁+a₂）+1=9．
（2）由a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，得a_n+1=3a_n（n≥2），由a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，知，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）等差數(shù)列{b_n}中，設(shè)首項為b₁，公差為d，由T₃=15得：3b₁+3d=15．由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，得（3+b₁+d）²=（1+b₁）（9+b₁+2d）．由此能求出T_n．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意數(shù)列中各項的求法和通項公式的求法，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用．