Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁₌a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，寫出a₁，a₂，a₃．
（2）設(shè)b_n=Sn-3n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（2）根據(jù)a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，而b_n=S_n-3ⁿ，因此可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，即可確定結(jié)論．

解答：解：（1）∵a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴a₂=2+3=5，a₃=2+5+9=16；
（2）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ
∵b_n=Sn-3n，
∴

bn+1

bn

=

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=2
∴{b_n}為等比數(shù)列，公比為2．
又a≠3，∴b₁=S₁-3=a-3≠0，
∴b_n=（a-3）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題中用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)，是遞推關(guān)系知道的情況下求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法，屬于中檔題．