Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=10n-n²，求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n=11-2n．得到當(dāng)n≤5時，a_n＞0；當(dāng)n≥6時，a_n＜0．進(jìn)而得到當(dāng)n≤6時，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n′=S_n．當(dāng)n≥6時，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n′=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₆+a₇+a₈+…+a_n）=2S₅-S_n，即可得出．

解答 解：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=10-1=9．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=11-2n．
當(dāng)n=1時，上式也成立．
∴a_n=11-2n．
令a_n≥0，解得n≤5，
∴當(dāng)n≤5時，a_n＞0；當(dāng)n≥6時，a_n＜0．
∴當(dāng)n≤5時，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n′=10n-n²．
當(dāng)n≥6時，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n′=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₆+a₇+a₈+…+a_n）=2S₅-S_n=n²-10n+50．
綜上可知數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n′=$\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}（n≤5）}\\{{n}^{2}-10n+50（n＞5）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求得a_n、數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n′、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．