Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知直線y=$\sqrt{3}$被圓C₁：x²+y²+8x+F=0截得的弦長(zhǎng)為2．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓C₁和x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C₁上不同于A，B的任意一點(diǎn)，直線PA，PB交y軸于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓C₂是否經(jīng)過(guò)圓C₁內(nèi)一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）若△RST的頂點(diǎn)R在直線x=-1上，S，T在圓C₁上，且直線RS過(guò)圓心C₁，∠SRT=30°，求點(diǎn)R的縱坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理及勾股定理利用圓的半徑及弦心距列出方程，即可求出F，得到圓的方程；
（2）先令圓方程中y=0分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出直線PA和PB的斜率，然后寫(xiě)出直線PA和PB的方程，分別令直線方程中y=0求出M與N的坐標(biāo)，因?yàn)镸N為圓C₂的直徑，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出圓心的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出MN，得到圓的半徑為$\frac{1}{2}$MN，寫(xiě)出圓C₂的方程，化簡(jiǎn)后，令y=0求出圓C₂過(guò)一定點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式判斷出此點(diǎn)在圓C₁的內(nèi)部，得證；
（3）設(shè)出R的坐標(biāo)，作C₁F⊥RT于H，設(shè)C₁H=d，由題意可知d小于等于半徑2，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，所以C₁R小于等于4，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出C₁R，列出不等式即可求出點(diǎn)R縱坐標(biāo)的范圍．

解答 解：（1）圓C₁：（x+4）²+y²=16-F，
∵直線y=$\sqrt{3}$被圓C₁：x²+y²+8x+F=0截得的弦長(zhǎng)為2，
∴3+1=16-F，∴F=12
∴圓C₁的方程為（x+4）²+y²=4；
（2）令圓的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，則A（-6，0），B（-2，0）
設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則（x₀+4）²+y₀²=4，得到（x₀+4）²-4=-y₀²①
∴k_PA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$，則l_PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$（x+6），M（0，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$）
l_PB：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），N（0，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）
圓C₂的方程為x²+（y-$\frac{\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）²=（$\frac{\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）²
完全平方式展開(kāi)并合并，將①代入化簡(jiǎn)得x²+y²-2（$\frac{\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）y-12=0，
令y=0，得x=±2$\sqrt{3}$，
又點(diǎn)Q（-2$\sqrt{3}$，0），
由Q到圓C₁的圓心（-4，0）的距離d=4-2$\sqrt{3}$＜2，則點(diǎn)Q在圓C₁內(nèi)，
所以當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓C₂經(jīng)過(guò)圓C₁內(nèi)一定點(diǎn)（-2$\sqrt{3}$，0）；
（3）設(shè)R（-1，t），作C₁F⊥RT于H，設(shè)C₁H=d，
由于∠C₁RH=30°，∴RC₁=2d，
由題得d≤2，
∴RC₁≤4，即$\sqrt{9+{t}^{2}}$≤4，∴-$\sqrt{7}$≤t≤$\sqrt{7}$，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的范圍為[-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)求出圓的方程以及掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判別方法，靈活運(yùn)用30°的直角三角形的邊的關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道比較難的題．