Question

4．半徑為1的圓O，點P在圓外，點Q在線段OP上，滿足|OP|•|OQ|=1，A為圓上一點，直線AP為圓O的切線，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的取值范圍是（0，1）．

Answer 1

分析 由題意，畫出草圖，得到O，P，Q三點共線，設$\overrightarrow{OQ}=λ\overrightarrow{OP}$，（0＜λ＜1），由|OP|•|OQ|=1得到λ的范圍，將$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$用λ表示，即可求得．

解答 解：如圖，因為O，P，Q三點共線，所以設$\overrightarrow{OQ}=λ\overrightarrow{OP}$，（0＜λ＜1），因為$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OP}=|\overrightarrow{OQ}||\overrightarrow{OP}|=|OQ||OP|$=1=$λ{\overrightarrow{OP}}^{2}$，所以λ=$\frac{1}{{\overrightarrow{OP}}^{2}}$，因為P在圓外，所以|OP|＞1，所以0＜λ＜1，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$）（$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA}$）
=$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}-（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）•\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^{2}$
=2-（1+λ）$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$
=2-（1+λ）（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}）•\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OA}$
=2-（1+λ）（${\overrightarrow{OA}}^{2}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OA}$），
直線AP為圓O的切線，
所以上式=2-（1+λ）${\overrightarrow{OA}}^{2}$=1-λ，
因為0＜λ＜1，所以0＜1-λ＜1．
故答案為：（0，1）．

點評 本題考查了平面向量的運算，用到了向量的三角形法則；屬于中檔題．