Question

【題目】已知拋物線y2=4 x的交點為橢圓 （a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的長軸長為4，左右頂點分別為A，B，經過橢圓左焦點的直線l與橢圓交于C，D（異于A，B）兩點．

（1）求橢圓標準方程；
（2）求四邊形ADBC的面積的最大值；
（3）若M（x1 ， y1）N（x2 ， y2）是橢圓上的兩動點，且滿x1x2+2y1y2=0，動點P滿足 （其中O為坐標原點），是否存在兩定點F1 ， F2使得|PF1|+|PF2|為定值，若存在求出該定值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設知：拋物線y2=4 x的焦點為（ ，0），

∴橢圓中的c= ，又由橢圓的長軸為4，得a=2，

∴b2=a2﹣c2=2，

∴橢圓方程為

（2）解：設直線l：x=my﹣ ，代入橢圓方程，得：（m2+2）y2﹣2 my﹣2=0，

設C（x1，y1），D（x2，y2），A（﹣2，0），B（2，0），

y1+y2= ，y1y2= ，判別式為（2 m）2+8（m2+2）＞0，

則四邊形ADBC的面積S=S△ABC+S△ABD= |AB||y1﹣y2|=2

=2 = = ≤ =4，

當且僅當 = 即m=0時，等號成立．

則四邊形ADBC的面積的最大值為4

（3）解：存在兩定點F1，F(xiàn)2使得|PF1|+|PF2|為定值．

設P（xP，yP），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由 ，得： ，①

x1x2+2y1y2=0，②

M，N是橢圓上的點，

∴x12+2y12=4，x22+2y22=4，

由①②，得xp2+2yP2=（x1+2x1）2+2（y1+2y2）2

=（x12+2y12）+4（x22+2y22），

∴xP2+2yP2=20，即 ，

由橢圓定義知|PF1|+|PF2|為定值4

【解析】（1）由已知條件得橢圓中的c= ，又由橢圓的長軸為4，由此能求出橢圓方程；（2）設直線l：x=my﹣ ，代入橢圓方程，得（m2+2）y2﹣2 my﹣2=0，運用韋達定理和四邊形ADBC的面積S=S△ABC+S△ABD= |AB||y1﹣y2|，化簡整理，運用基本不等式即可求得m=0時，取得最大值4；（3）設P（xP ， yP），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．由 ，運用向量的坐標運算，得 ，由橢圓定義知|PF1|+|PF2|為定值4 ．