Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（-x²+ax+a），若f（x）＞1對一切x∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若f（x）＞1對一切x∈[1，2]恒成立，則-x²+ax+a＞2對一切x∈[1，2]恒成立，即a＞

x2+2

x+1

對一切x∈[1，2]恒成立，利用導(dǎo)數(shù)法求出

x2+2

x+1

在[1，2]上的最大值，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=log₂（-x²+ax+a），
若f（x）＞1對一切x∈[1，2]恒成立，
則-x²+ax+a＞2對一切x∈[1，2]恒成立，
即a＞

x2+2

x+1

對一切x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=

x2+2

x+1

，則g′（x）=

x2+2x-2

(x+1)2

，
當(dāng)x∈[1，2]時，g′（x）＞0恒成立，
故g（x）=

x2+2

x+1

在[1，2]上單調(diào)遞增，
故a＞g（2）=2，
即a＞2，
故答案為：a＞2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，其中孤立參數(shù)法是最常用的方法，而解答的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題．