Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)，且時(shí)證明不等式：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入時(shí)，求得，求得切線(xiàn)的斜率，即可求解切線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）求得的表達(dá)式，分和和三種情況分類(lèi)討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）先由時(shí),證得，再取得，進(jìn)而可證明上述不等式．

試題解析：

（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)， ，

所以，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.

（Ⅱ）解：函數(shù).

,

分以下幾種情形討論：

（1）當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)， ，

①當(dāng)時(shí)， ，

，

所以，函數(shù)

②當(dāng)時(shí)，

,

所以， .

（Ⅲ）證明：當(dāng)-1時(shí), ，

令，則在上恒正，

所以， 在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有，

即當(dāng)時(shí)， ，

對(duì)任意正整數(shù)，取得，

所以，

=

=

=