Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b，（a，b∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象切x軸于點（2，0），求a．b的值；
（2）設函數(shù)y=f（x）（x∈（0，1）） 的圖象上任意一點的切線斜率為k，試求|k|≤1的充要條件；
（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象上任意不同的兩點的連線斜率小于1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，令f′（2）=0，f（2）=0，即可得到a，b；
（2）求出導數(shù)，對任意的x∈（0，1），|k|≤1，即|-3x²+2ax|≤1對任意的x∈（0，1）恒成立，運用參數(shù)分離，
等價于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x對任意的x∈（0，1）恒成立．令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，分別求出g（x），h（x）的最小值和最大值，解不等式即可得到；
（3）求出f（x）圖象上任兩點的斜率，列出不等式，化簡整理，再令F（x）=f（x）-x，求出導數(shù)，再由二次函數(shù)的性質，得到判別式不大于0，解得即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b的導數(shù)為：
f′（x）=-3x²+2ax，
由于函數(shù)y=f（x）的圖象切x軸于點（2，0），
則f′（2）=0，即有-12+4a=0，解得，a=3，
f（2）=0，即有-8+3×4+b=0，解得，b=-4．
解得，a=3，b=-4；
（2）k=f′（x）=-3x²+2ax（0＜x＜1），
對任意的x∈（0，1），|k|≤1，即|-3x²+2ax|≤1對任意的x∈（0，1）恒成立，
等價于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x對任意的x∈（0，1）恒成立．
令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，
則

1

2

h（x）_max≤a≤

1

2

g（x）_min，x∈（0，1），
由于

1

x

+3x≥2

3

，當且僅當x=

3

3

時“=”成立，g（x）_min=2

3

，
h（x）=3x-

1

x

在（0，1）上為增函數(shù)，h（x）_max＜2，
則1≤a≤

3

；      
（3）設x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜1，
不妨設x₁＜x₂，則f（x₂）-x₂＜f（x₁）-x₁，
令F（x）=f（x）-x，則F（x）為R上的減函數(shù)，
則F′（x）=-3x²+2ax-1≤0對x∈R恒成立，
即3x²-2ax+1≥0對x∈R恒成立，
即△≤0，即4a²-12≤0，
則有-

3

≤a≤

3

．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題轉化為求最值，考查函數(shù)的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．