Question

12．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=x²+2x，若x∈[2，4]時(shí)，$f（x）≥2log_2^{（t+1）}$恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-1，-$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由f（x+2）=2f（x），可得f（x）=2f（x-2），求得0≤x≤2時(shí)，2≤x≤4時(shí)的f（x）的解析式，由題意可得t+1＞0且t+1≤4^{（x-4）（x-2）}在[2，4]恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值，進(jìn)而得到所求a 的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=x²+2x，
由0≤x≤2時(shí)，可得-2≤x-2≤0時(shí)，
由定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），
可得f（x）=2f（x-2）=2（x-2）²+4（x-2），（0≤x≤2），
由2≤x≤4，可得0≤x-2≤2時(shí)，
則f（x）=2f（x-2）=4（x-4）²+8（x-4），（2≤x≤4），
若x∈[2，4]時(shí)，$f（x）≥2log_2^{（t+1）}$恒成立，
即為t+1＞0且t+1≤4^{（x-4）（x-2）}在[2，4]恒成立，
由（x-4）（x-2）=x²-6x+8=（x-3）²-1，
可得x=3時(shí)，取得最小值-1，
即有0＜t+1≤$\frac{1}{4}$，
解得-1＜t≤-$\frac{3}{4}$．
故答案為：（-1，-$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的解析式求法和恒成立問題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．