Question

14．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）+f（2+x）=0，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=（x-1）²-1，若關(guān)于x的方程f（x）-k（x-1）=0恰有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． （$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，4-$\sqrt{13}$）
• B． （8-2$\sqrt{15}$，4-$\sqrt{13}$）
• C． （5-2$\sqrt{6}$，4-2$\sqrt{3}$）
• D． （8-2$\sqrt{15}$，4-2$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期，以及函數(shù)的解析式，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與y=k（x-1）有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合，以及直線和拋物線相切的等價條件，利用判別式△=0，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）+f（2+x）=0，
∴f（2+x）=-f（x），
即f（x+4）=-f（2+x）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
若x∈[-2，0]時，則-x∈[0，2]時，此時f（-x）=（-x-1）²-1=（x+1）²-1=-f（x），
即f（x）=-（x+1）²+1，x∈[-2，0]，
若關(guān)于x的方程f（x）-k（x-1）=0恰有三個不同的實數(shù)解，
等價為f（x）=k（x-1）恰有三個不同的實數(shù)解，
即函數(shù)f（x）與y=k（x-1）有三個不同的交點，
作出函數(shù)f（x）和y=k（x-1）的圖象如圖：
當(dāng)x∈[2，4]時，x-4∈[-2，0]，
則f（x）=f（x-4）=-（x-4+1）²+1=-（x-3）²+1，
由f（x）=1-（x-3）²=k（x-1），得x²+（k-6）x+8-k=0，
此時對稱軸x=-$\frac{k-6}{2}$∈（2，4），
得-2＜k＜2，
∵k＞0，∴0＜k＜2，
由判別式△=（k-6）²-4（8-k）=0得k²-8k+4=0
得k=4-2$\sqrt{3}$，或k=4+2$\sqrt{3}$，（舍）
則k=4-2$\sqrt{3}$，此時兩個函數(shù)有2個交點．
當(dāng)x∈[-4，-2]時，x+4∈[0，2]，
則f（x）=f（x+4）=（x+4-1）²-1=（x+3）²-1，x∈[-4，-2]，
此時當(dāng)f（x）與y=k（x-1）相切時，即（x+3）²-1=k（x-1），
即x²+（6-k）x+8-k=0，
此時對稱軸x=$\frac{k-6}{2}$∈（-4，-2），
得-2＜k＜2，
∵k＞0，∴0＜k＜2，
判別式△=（6-k）²-4×（8+k）=0得k²-16k+4=0
得k=8-2$\sqrt{15}$，或k=8+2$\sqrt{15}$（舍），
即k=8-2$\sqrt{15}$，此時兩個函數(shù)有4個交點．
故若關(guān)于x的方程f（x）-kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)k滿足8-2$\sqrt{15}$＜k＜4-2$\sqrt{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性和解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．