已知
OM
=(cosα，sinα)，
ON
=(cosx，sinx)，
PQ
=(cosx，-sinx+
4
5cosα
)
（1）當(dāng)cosα=
4
5sinx
時，求函數(shù)y=
ON
•
PQ
的最小正周期；
（2）當(dāng)
OM
•
ON
=
12
13
，
OM
∥
PQ
，α-x，α+x都是銳角時，求cos2α的值．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=
ON
•
PQ
，
ON
=(cosx，sinx)，
PQ
=(cosx，-sinx+
4
5cosα
)，我們可給出函數(shù)的解析式，根據(jù)三角恒等變換，我們可將函數(shù)的解析式化為余弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)T=
2π
ω
，求出函數(shù)的最小正周期．
（2）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
OM
=(cosα，sinα)，
ON
=(cosx，sinx)，我們易結(jié)合
OM
•
ON
=
12
13
，再根據(jù)α-x、α+x是銳角，我們易求出α-x、α+x的三角函數(shù)值，再根據(jù)2α=（α-x）+（α+x），求出cos2α的值．
解答：解：（1）∵
ON
=(cosx，sinx)，
PQ
=(cosx，-sinx+
4
5cosα
)，
所以y=
ON
•
PQ
=cos2x-sin2x+
4sinx
5cosα
．
又∵cosα=
4
5sinx
，
∴y=cos2x-sin2x+
4sinx
5cosα
=cos2x+sin2x
=cos2x+
1-cos2x
2
=
1
2
cos2x+
1
2
．
所以該函數(shù)的最小正周期是π．

（2）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
OM
=(cosα，sinα)，
ON
=(cosx，sinx)
所以
OM
•
ON
=cosαcosx+sinαsinx=cos(α-x)=
12
13

∵α-x是銳角
∴sin(α-x)=
1-cos2(α-x)
=
5
13

∵
OM
∥
PQ

∴-cosαsinx+
4
5
-sinαcosx=0，即sin(α+x)=
4
5

∵α+x是銳角
∴cos(α+x)=
1-sin2(α+x)
=
3
5

∴cos2α=cos[（α+x）+（α-x）]=cos（α+x）cos（α-x）-sin（α+x）sin（α-x）
=
3
5
×
12
13
-
4
5
×
5
13
=
16
65
，即cos2α=
16
65
．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換，平行（共線）向量，兩角和的余弦公式，解答的關(guān)鍵（1）中要將函數(shù)的解析式化為余弦型函數(shù)的形式，（2）中關(guān)鍵是分析已知角與未知角的關(guān)系．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M（a，b），N（sinωx，cosωx）（ω＞0），記f（x）=
OM
•
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若f（x）的最小正周期為2，并且當(dāng)x=
1
3
時，f（x）的最大值為5．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）對任意的整數(shù)n，在區(qū)間（n，n+1）內(nèi)是否存在曲線y=f（x）的對稱軸？若存在，求出此對稱軸方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義非零向量
OM
=(a，b)的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
OM
=(a，b)稱為函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）設(shè)h（x）=cos（x+
π
6
）-2cos（x+a）（a∈R），求證：h（x）∈S；
（2）求（1）中函數(shù)h（x）的“相伴向量”模的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)M（a，b）（b≠0）滿足：(a-
3
)2+(b-1)2=1上一點(diǎn)，向量
OM
的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x0處取得最大值．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，求tan2x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)；又函數(shù)y=asinx+3bcosx圖象的一條對稱軸的方程是x=
π
6
．（1）求橢圓C的離心率e與直線AB的方程；（2）對于任意一點(diǎn)M∈C，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知
OM
=(cosα，sinα)，
ON
=(cosx，sinx)，
PQ
=(cosx，-sinx+
4
5cosα
)
（1）當(dāng)cosα=
4
5sinx
時，求函數(shù)y=
ON
•
PQ
的最小正周期；
（2）當(dāng)
OM
•
ON
=
12
13
，
OM
∥
PQ
，α-x，α+x都是銳角時，求cos2α的值．

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