Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，-1）遞減；在（-1，+∞）遞增；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于的方程，求出，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）問(wèn)題等價(jià)于在[-2，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根．令g（x）=xex+x2+2x，求出函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

試題解析：

（1）f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在x=1處取得極值， ∴f'（-1）=0，解得a=1．經(jīng)檢驗(yàn)a=1適合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）遞減；

當(dāng)x∈（-1+∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）遞增．

（2）函數(shù)y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

等價(jià)于xex+x2+2x-m=0在[-2，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，

等價(jià)于xex+x2+2x=m在[-2，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根．

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），

由（1）知g（x）在（-∞，-1）遞減； 在（-1，+∞）遞增．

g（x）在[-2，2]上的極小值也是最小值； ． 又，g（2）=8+2e2＞g（-2）， ∴，即．