Question

已知△ABC和△DBC是兩個有公共斜邊的直角三角形，并且AB=AD=AC=2a，CD=

6

a．
（1）若P是AC邊上的一點，當△PDB的面積最小時，求二面角B-PD-C的正切值；
（2）在（1）的條件下，求點C到平面PBD的距離；
（3）能否找到一個球，使A，B，C，D都在該球面上，若不能，請說明理由；若能，求該球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）作PH⊥BC，HE⊥BD于E，連接PE，設(shè)PH=CH=x，由題設(shè)條件解得x=

6 2

7

a時，S_△PBD最�。�以過H點垂直于BC的直線為x軸，以HC為y軸，以HP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的正切值．
（2）由

BC

=(0，2

2

a，0)，平面PBD的一個法向量

n

=（

3

，-3，4），利用向量法能求出點C到平面PBD的距離．
（3）R=

2

a，設(shè)正三棱柱的底面邊長為x，高為y，則

1

3

x2+

1

4

y2=2a2，所以xy≤2

3

a2，由此能求出該球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積的最大值．

解答：解：（1）作PH⊥BC，HE⊥BD于E，連接PE，
設(shè)PH=CH=x，∵△ABC和△DBC是兩個有公共斜邊的直角三角形，AB=AD=AC=2a，CD=

6

a，
∴BH=2

2

a-x，
∴EH=

3

2

(2

2

a-x)=

6

a-

3

2

x，
∴PE=

x2+( 6 a- 3 2 x)2

=

7 4 x2-3 2 ax+6a2

=

2 a

2

•

7 4 (x- 6 2 7 a)2+ 24 7 a2

，
∵0＜x≤

2

a，∴x=

6 2

7

a時，S_△PBD最小．
以過H點垂直于BC的直線為x軸，以HC為y軸，以HP為z軸，建立空間直角坐標系，

則P（0，0，

6 2

7

a），B（0，-

8 2

7

a，0），C（0，

6 2

7

a，0），D（-

6

2

a，-

9

14

2

a，0），
∴

PB

=（0，-

8

7

2

a，-

6

7

2

a），

PC

=(0，

6 2

7

a，-

6 2

7

a)，

PD

=(

6

2

a，-

9

14

2

a，-

6

7

2

a)，
設(shè)面PCD的一個法向量為

m

=(x1，y1，z1)，則有

m

•

PC

=0，

m

•

PD

=0，
∴

6 2 7 ay1- 6 2 7 az1=0 6 2 ax1- 9 14 2 ay1- 6 7 2 az1=0

，解得

m

=（

3

，1，1），
設(shè)平面PBD的一個法向量為

n

=(x2，y2，z2)，
則有

n

•

PB

=0，

n

•

PD

=0，
∴

- 8 7 2 ax2- 6 7 2 az2=0 6 2 ax2- 9 14 2 ay2- 6 7 2 az2=0

，解得

n

=（

3

，-3，4），
設(shè)二面角B-PD-C的平面角為θ，
cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-|

3-3+4

5 • 28

|=-

2 35

35

，
∴tanθ=-

31

2

．
故二面角B-PD-C的正切值為-

31

2

．
（2）∵

BC

=(0，2

2

a，0)，

n

=（

3

，-3，4），
∴點C到平面PBD的距離d=

| BC • n |

| n |

=

|0-6 2 a+0|

28

=

3 14

7

a．
（3）由題意，R=

2

a
設(shè)正三棱柱的底面邊長為x，高為y，則

1

3

x2+

1

4

y2=2a2，∴xy≤2

3

a2，
∴S_側(cè)=3xy≤6

3

a²，當且僅當x=

3

a，y=2a時取等號．

點評：本題考查二面角的正切值的求法，考查點到平面的距離，考查該球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積的最大值．解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．