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精英家教網如圖，已知△ABC的面積為14，D、E分別為邊AB、BC上的點，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE與CD交于P．設存在λ和μ使
AP
=λ
AE
，
PD
=μ
CD
，
AB
=
a
，
BC
=
b
．
（1）求λ及μ；
（2）用
a
，
b
表示
BP
；
（3）求△PAC的面積．
分析：（1）根據
AP
=λ
AE
=λ(
a
+
2
3
b
)，用基底
a
、
b
 表示出
AP
．再根據
AP
=
AD
+
DP
=
2
3
AB
+
DP
，
用基底
a
、
b
 表示出
AP
．這兩種表示方式是相同的，由此求出λ及μ．
（2）把
BP
用
BA
+
AP
來表示，把（1）中的結果代入可得用基底
a
、
b
 表 示的
BP
．
（3） 根據面積之比等于對應的向量的長度比求出△PAB和△PBC 的面積，用△ABC的面積減去△PAB和△PBC 的面積
即得△PAC的面積．
解答：解：（1）由于
AB
=
a
，
BC
=
b
，則
AE
=
a
+
2
3
b
，
DC
=
1
3
a
+
b
，
AP
=λ
AE
=λ(
a
+
2
3
b
)，
DP
=μ
DC
=μ(
1
3
a
+
b
)，
AP
=
AD
+
DP
=
2
3
AB
+
DP
，
2
3
a
+μ(
1
3
a
+
b
)=λ(
a
+
2
3
b
)，∴λ=
2
3
+
1
3
μ ①，
2
3
λ=μ ②，
由①②得λ=
6
7
，μ=
4
7

（2）
BP
=
BA
+
AP
=-
a
+
6
7
×(
a
+
2
3
b
)=-
1
7
a
+
4
7
b
．
（3）設△ABC，△PAB，△PBC的高分別為h，h1，h2，
h1：h=|
PD
|：|
CD
|=μ=
4
7
，S△PAB=
4
7
S△ABC=8，
h2：h=|
PE
|：|
AE
|=1-λ=
1
7
，S△PBC=
1
7
S△ABC=2，S△PAC=4．
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點評：本題考查向量數乘的運算和幾何意義，把三角形的面積之比轉化為向量的長度比，是解題的難點．
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