Question

某投資公司投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)分別是P（億元）和Q（億元），它們與投資額t（億元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=

1

6

3t

，Q=

1

8

t．今該公司將5億元投資這兩個(gè)項(xiàng)目，其中對(duì)甲項(xiàng)目投資x（億元），投資這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為y（億元）．求：
（1）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）總利潤(rùn)的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)甲項(xiàng)目投資x億元，則乙項(xiàng)目投資

1

8

（5-x）億元，這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為y=M（億元）+N（億元），由經(jīng)驗(yàn)公式建立總利潤(rùn)關(guān)于資金為x的函數(shù)關(guān)系；
（2）用換元法，設(shè)令t=

3x

，t∈[0，

15

]，則x=

t2

3

，利用換元法轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題，從而求出y的最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得y=

1

6

3x

+

1

8

（5-x），…（6分）
x∈[0，5]． …（8分）
（注：定義域?qū)懗桑?，5）不扣分）
（2）令t=

3x

，t∈[0，

15

]，則x=

t2

3

，
y=-

t2

24

+

1

6

t+

5

8

=-

1

24

（t-2）²+

19

24

．…（12分）
因?yàn)?∈[0，

15

]，所以當(dāng)

3x

=2時(shí)，即x=

4

3

時(shí)，y_最大值=

19

24

．…（14分）
答：總利潤(rùn)的最大值是

19

24

億元． …（15分）

點(diǎn)評(píng)：利潤(rùn)最大的問(wèn)題，根據(jù)題意列出符號(hào)條件的函數(shù)關(guān)系式，選擇合適的方法求最值即可，本題用換元法得到一元二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值，是基礎(chǔ)題．