Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的x∈R都有f（x+3）-f（-x）=0，當(dāng)x∈（0，1]時f（x）=x²-4x，則f（2015）+f（2016）=-3．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可

解答 解：∵設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有f（x+3）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=x²-4x，
∴f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=0，f（3）=-1，
∴f（2015）=f（335×6+5）=f（5）=-f（-5）-f（-5+6）=-f（1）=-3
f（2016）=f（6×336）=f（0）=0，
f（2015）+f（2016）=-3+0=-3
故答案為：-3

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．