Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PD=2，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn)．
（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若E是PB中點(diǎn)，求點(diǎn)B平面EDC的距離．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD得PD⊥AC，由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，故而AC⊥平面PBD，于是平面EAC⊥平面PBD；
（2）連結(jié)OE，則可證OE⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出BC與平面CDE所成的角θ，則點(diǎn)B到平面EDC的距離為|BC|sinθ．

解答 證明：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
又PD?平面PBD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）連結(jié)OE，
∵O，E分別是BD，PB的中點(diǎn)，∴OE∥PD，OE=$\frac{1}{2}$PD=1．
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，
∴△ABD，△BCD是等邊三角形，
∴OB=OD=1，OA=OC=$\sqrt{3}$．
∴B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），E（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{DC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1）．
設(shè)平面CDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{2•\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
設(shè)BC與平面CDE所成的角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴點(diǎn)B到平面EDC的距離為|BC|•sinθ=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用與空間距離的計(jì)算，屬于中檔題．